Теоретический материал, необходимый для сдачи ОГЭ
Основные законы алгебры

1.ДЕЙСТВИЕ ВЫЧИТАНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ КАК ПРИБАВЛЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА.

Пример: 5-3=5+(-3)

2.ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ КАК УМНОЖЕНИЕ НА ДРОБЬ С ЧИСЛИТЕЛЕМ 1 И ЗНАМЕНАТЕЛЕМ, РАВНЫМ ДЕЛИТЕЛЮ (ТОМУ ЧИСЛУ, НА КОТОРОЕ ПРОИЗВОДИТСЯ ДЕЛЕНИЕ)

9:3=9х1/3

3.A+B=B+A

Пример: 6+8=14 и 8+6=14

Из правила 1 следует, что этот закон действует и в случае с вычитанием. Только тогда действие вычитание представляется как действие сложение отрицательного числа.

Пример: 25-9=25+(-9)=-9+25=16

4.AxB=BxA

Пример: 13х11=143 и 11х13=143

Из правила 2 следует, что этот закон действует и в случае с вычитанием. Только тогда действие деления представляется как действие умножения на дробь.

Пример: 96:8=96х1/8=1/8х96=12

5.A(B+C)=AxB+AxC

Пример: 5(4+9)=65 и 5х4+5х9=65
Этим правилом мы пользуемся при упрощении алгебраических выражений - на нем основываются такие тождественные преобразования, как раскрытие скобок и вынесение за скобку общего множителя. 
Когда мы выносим за скобку общий множитель, мы на самом деле преобразуем выражение типа AxB+AxC в выражение A(B+C). 

6.Если AxB=C, то A=C/B.

Пример: 4х18=72 ⇒18=72/4

Исключение - случай, когда B=0. Тогда закон не работает. А результат деления на 0 - невозможно определить. Поэтому в математике действует правило:

7.НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ.

8.ДЛЯ ЛЮБОГО РАВЕНСТВА ВЕРНО ТО, ЧТО МОЖНО ПРИМЕНИТЬ ОДНОВРЕМЕННО К ЛЕВОЙ И К ПРАВОЙ ЕГО ЧАСТЯМ ОДНО И ТО ЖЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ. ПРИ ЭТОМ РАВЕНСТВО СОХРАНЯЕТСЯ
На этом законе основывается решение большей части уравнений. Когда мы что-то, как принято говорить на уроках в школе, "переносим по другую сторону от знака равенства" мы, на самом деле, к левой и правой частям уравнения применяем одно и то же действие. Так, что с одной стороны число уничтожается, зато появляется в другой. 

Пример: Х+21=14

X+21-21=14-21

X+0=-7

X=-7

9.ДЛЯ ЛЮБОГО НЕРАВЕНСТВА ВЕРНО ТО, ЧТО МОЖНО ПРИМЕНИТЬ ОДНОВРЕМЕННО К ЛЕВОЙ И К ПРАВОЙ ЕГО ЧАСТЯМ ОДНО И ТО ЖЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ. ПРИ ЭТОМ НЕРАВЕНСТВО СОХРАНЯЕТСЯ.
ИСКЛЮЧЕНИЕ: ПРИ УМНОЖЕНИИ ИЛИ ДЕЛЕНИИ ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ НЕРАВЕНСТВА НА ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЗНАК НЕРАВЕНСТВА МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ.

На этом законе основывается решение большей части неравенств. Когда мы что-то, как принято говорить на уроках в школе, "переносим по другую сторону от знака неравенства" мы, на самом деле, к левой и правой частям неравенства применяем одно и то же действие. Так, что с одной стороны число уничтожается, зато появляется в другой. 

Пример: Yх(-21)>14

Yх(-21)/(-21)<14/21

Yх1<2/3

Y<2/3

Делимость чисел

СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ:

1.ВСЯКОЕ ОТЛИЧНОЕ ОТ 0 ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 1, -1, НА САМОГО СЕБЯ И НА ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ ЧИСЛО. 

2.ЕСЛИ ЧИСЛО А ДЕЛИТСЯ НА B, B ДЕЛИТСЯ НА С, ЗНАЧИТ, А ДЕЛИТСЯ НА С. 

3.ЕСЛИ А ДЕЛИТСЯ НА С, С ДЕЛИТСЯ НА А, ЗНАЧИТ А=С ЛИБО А=-С. 

4.ЕСЛИ А ДЕЛИТСЯ НА B И С ДЕЛИТСЯ НА B, ТО И А+С ДЕЛИТСЯ НА B. 

5.ЕСЛИ НЕСКОЛЬКО СЛАГАЕМЫХ ДЕЛЯТСЯ НА ЧИСЛО, И ЛИШЬ ОДНО - НЕ ДЕЛИТСЯ, ТО СУММА НА ЭТО ЧИСЛО НЕ ДЕЛИТСЯ. 

6.ЕСЛИ А ДЕЛИТСЯ НА С, ТО АхB ДЕЛИТСЯ НА С. 

7.ЕСЛИ А ДЕЛИТСЯ НА B, C ДЕЛИТСЯ НА D, ТО АхС ДЕЛИТСЯ НА ВхD. 

8.ПРОИЗВЕДЕНИЕ n ЛЮБЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ДЕЛИТСЯ НА n

9.ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ЛЮБЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ДЕЛИТСЯ НА 6

10.ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ЛЮБЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЧЕТНЫХ ЧИСЕЛ ДЕЛИТСЯ НА 8

11.ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ: ЕСЛИ МНОЖЕСТВО ИЗ m ЧЛЕНОВ РАЗДЕЛИТЬ НА n ПОДМНОЖЕСТВ (m>n), ТО ХОТЯ БЫ В ОДНОМ ИЗ ПОДМНОЖЕСТВ БУДЕТ КАК МИНИМУМ 2 ЧЛЕНА. 

12.НОД(А,В) х НОК(А,В) = А х В, ТО ЕСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ НА НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ДВУХ ЧИСЕЛ ВСЕГДА РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭТИХ ЧИСЕЛ

13.ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ:

  • НА 2: ЧИСЛО ЗАКАНЧИВАЕТСЯ НА ЧЕТНУЮ ЦИФРУ ИЛИ 0
  • НА 3: СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИТСЯ НА 3

Пример: Число 75282 делится на 3, так как сумма его цифр 7+5+2+8+2=24 делится на 3

  • НА 4: ЧИСЛО, ОБРАЗОВАННОЕ ДВУМЯ ПОСЛЕДНИМИ ЦИФРАМИ ИСХОДНОГО ЧИСЛА, ДЕЛИТСЯ НА 4 ИЛИ САМО ИСХОДНОЕ ЧИСЛО ЗАКАНЧИВАЕТСЯ НА 00
  • НА 5: ЧИСЛО ЗАКАНЧИВАЕТСЯ НА 0 ИЛИ 5
  • НА 6: ЧИСЛО ОДНОВРЕМЕННО ДЕЛИТСЯ И НА 2, И НА 3
  • НА 9: СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИТСЯ НА 9
  • НА 10 (100, 1000 И Т.Д.): ЧИСЛО ЗАКАНЧИВАЕТСЯ НА 0 (00, 000 И Т.Д.)
Действия с дробями

1. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ:

ЕСЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ ДРОБИ УМНОЖИТЬ ОДНОВРЕМЕННО НА ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО, ДРОБЬ НЕ ИЗМЕНИТСЯ. 

Пример: A/B=AC/BC

20\30=2x10/3x10=2/3

На этом правиле основываются действия сокращения (деления и числителя, и знаменателя дроби на одно и то же число) и привидения дробей к общему знаменателю (при котором знаменатели домножаются таким образом, чтобы в итоге у всех дробей получался общий знаменатель; после чего числитель каждой дроби домножается на то же число, что и знаменатель)

2.ДЛЯ СЛОЖЕНИЕ ИЛИ ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ НАДО СЛОЖИТЬ ИЛИ ВЫЧЕСТЬ ЧИСЛИТЕЛИ, ПРИ ЭТОМ ЗНАМЕНАТЕЛЬ ОСТАЕТСЯ ПРЕЖНИМ. 

3.ПЕРЕД ТЕМ, КАК СЛОЖИТЬ ДРОБИ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ, НАДО ПРИВЕСТИ ИХ К ОДИНАКОВОМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ. 

Примеры:

2/7+4/7=6/7

3/8+1/6=3х3/8х3+1х4/6х4=9/24+4/24=13/24

A/B-C/D=AD/BD-CB/DB=(AD-CB)/DB

4.ПРИ УМНОЖЕНИИ ДРОБЕЙ ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ ОТДЕЛЬНО ИХ ЧИСЛИТЕЛИ, ОТДЕЛЬНО - ЗНАМЕНАТЕЛИ

5.ПРИ ДЕЛЕНИИ ДРОБЕЙ ЧИСЛИТЕЛЬ ПЕРВОЙ ДРОБИ УМНОЖАЕТСЯ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ ВТОРОЙ (РЕЗУЛЬТАТ ЗАПИСЫВАЕТСЯ В ЧИСЛИТЕЛЬ), А ЗНАМЕНАТЕЛЬ ПЕРВОЙ - УМНОЖАЕТСЯ НА ЧИСЛИТЕЛЬ ВТОРОЙ (РЕЗУЛЬТАТ ЗАПИСЫВАЕТСЯ В ЗНАМЕНАТЕЛЬ)

Иначе говоря, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй. 

Примеры:

A/BxC/D=AC/BD

A/B:C/D=AD/BC

6. ДЛЯ ВОЗВЕДЕНИЯ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ НАДО ПО-ОТДЕЛЬНОСТИ ВОЗВЕСТИ В СТЕПЕНЬ И ЧИСЛИТЕЛЬ, И ЗНАМЕНАТЕЛЬ.